viernes, abril 14, 2006

¿Cuántas diagonales tiene un polígono?

Aprovechando que recordamos la definición de diagonales en el problema anterior, completemos ahora la siguiente tabla, la idea es encontrar una fórmula con la que podamos calcular el número de diagonales de un polígono convexo.


NOTA: Si no recuerdas que es un polígono convexo, te sugiero investigues lo siguiente:

  • ¿Qué es un polígono convexo?
  • ¿Qué es un polígono cóncavo?

y reflexiona lo siguiente:

  • ¿Cuál es la diferencia entre uno y otro?
  • ¿Puede un polígono ser convexo y cóncavo a la vez?

Comparte los resultados de tu investigación, de tu reflexión y por supuesto, los resultados de la tabla.

21 Comments:

Anonymous MetalDT said...

Pues esto nos enseñaron en la secundaria:
Convexo: Son aquellos que tienen al menos un angulo interior mayor de 180°.
Convexo: Son aquellos que no tienen ningun angulo interior mayor de 180°.
¿Cuál es la diferencia entre uno y otro?
Pues pienso que la diferencia esta en las figuras una tiene como puntas hacia adentro (concavo) y la otra hacia afuera (convexo).
¿Puede un polígono ser convexo y cóncavo a la vez?: No según la definición de convexo.
La formula es diagonales = n(n-3)/2, esto es: El número de diagonales es igual a la mitad del producto entre el número de lados y el número de diagonales que se trazan desde un vertice, este ultimo se caulcula con el número de lados menos tres.
Así en la tabla:
El triángulo = 0
El cuadrilatero = 2
El Pentagono = 5
El hexagono = 9
El decagono = 35
El último no le entendi :P
¿Es el número de ángulos? Entonces seria como que el número de angulos es igual al número de lados. No entiendo. ¿¿Hay que darle un valor a n??

5:03 p.m.  
Blogger Paty Jaime said...

MetalDT,

la idea era que tu encontraras (dedujeras) la fórmula, en el último renglón de la tabla es donde se escribe la fórmula, el valor se lo das a n cuando calculas el número de diagonales para algún polígono en particular.

Tu investigación y tus comentarios bien :D

10:38 a.m.  
Anonymous martín said...

Polígono convexo: es aquel que tiene todos sus vértices hacia el exterior de la figura.
Polígono cóncavo: es aquel que tiene por lo menos uno de sus vértices hacia el interior de la figura.

La diferencia es la ubicación de los vértices. En el convexo los vértices están hacia el exterior de la figura y en el cóncavo están sus vértices hacia el interior de la figura.

Un polígono no puede ser convexo y cóncavo a la vez.

La formula que deduje fue: n(n-3)/2, en donde:
n = al número de vértices del polígono.
n-3 para saber las diagonales que salen de cada vértice del polígono.
n(n-3) se multiplica por n para saber el total de diagonales del polígono.
n(n-3)/2 se divide entre 2 por las diagonales que se repiten, sino, contaríamos 2 veces cada diagonal.

Así, las diagonales son:
Triangulo = 0 diagonales
Cuadrilátero = 2 diagonales
Pentágono = 5 diagonales
Hexágono = 9 diagonales
Decágono = 35 diagonales
n-ágono = n(n-3)/2 diagonales

11:16 a.m.  
Anonymous MetalDT said...

Ha ok, entonces en la última de la tabla si se le tiene que dar un valor, esa era mi duda, como dice n-ágono no entendi si la "n" es la que toma cualquier valor. Pero ya esta entendido. :)

5:25 p.m.  
Anonymous Anónimo said...

ME A SERVIDO UN COMENTARIO AUNQUE PREFERIRIA OTRA PAGINA DE INTERNET,SOY DE 5ºB PRIMARIA.

11:40 a.m.  
Anonymous agradecida valdez said...

Hola!!
Esta muy buena tu pag, aunque no la he visto entera, me ha servido muchisimo, mañana tengo examen de Matematicas, y mi profe no sabe explicarla, no te explica las cosas con fundamento, y si le haces una pregunta se enoja, porque claro, no sabe como responderla, y cuando te responde te dice lo mismo que te dijo al principio, osea, te quedas igual. Y como si fuera poco, no sabe hablar, lo pronuncia, todo mal, nos dice amor, buenosmosos y buenasmosas, sin querernos, porque nos trata muy mal, y cuando le preguntas te pone cara de rara y se rie en tu cara.... es una BRUJA!!
Es una tonta!!
Y los profes no la quieren hechar, el director, nadie, nadie nos hace caso, nos hemos quejado varias veces y nadie nos hace caso, hasta los buenos estudiantes se quejan. Y no todos los papas nos apoyan, ese es el problema.
Me explaye mucho!!
Sorry!!
Bueno... estaba comentando para darle las gracias a MetalDT y martín por escribir esto sobre los poligonos convexos y concavos, me han ayudado muchisimo.
Pero yo no deduje la formula como ustedes 2 y muchisimas mas personas.
Gracias por hacer este blog, a todos, a la que escribio el articulo y a los comentaristas, que son muy cooperativos.

7:04 p.m.  
Anonymous Anónimo said...

jeje le estaba explicando los poligonos a mi hno. muchas gracias por las formulas

9:25 p.m.  
Anonymous Anónimo said...

andrea gajardo: me gusto demaciado la pagina es buena y me dio 3 decimas para la prueba y me quedo claro que¨


Polígono convexo: es aquel que tiene todos sus vértices hacia el exterior de la figura.
Polígono cóncavo: es aquel que tiene por lo menos uno de sus vértices hacia el interior de la figura.

La diferencia es la ubicación de los vértices. En el convexo los vértices están hacia el exterior de la figura y en el cóncavo están sus vértices hacia el interior de la figura.

Un polígono no puede ser convexo y cóncavo a la vez.

La formula que deduje fue: n(n-3)/2, en donde:
n = al número de vértices del polígono.
n-3 para saber las diagonales que salen de cada vértice del polígono.
n(n-3) se multiplica por n para saber el total de diagonales del polígono.
n(n-3)/2 se divide entre 2 por las diagonales que se repiten, sino, contaríamos 2 veces cada diagonal.

Así, las diagonales son:
Triangulo = 0 diagonales
Cuadrilátero = 2 diagonales
Pentágono = 5 diagonales
Hexágono = 9 diagonales
Decágono = 35 diagonales

1:48 p.m.  
Anonymous Anónimo said...

cuantos lados tieene un poligono que tiene 135diagonales

11:53 a.m.  
Anonymous Anónimo said...

me sirvio mucho pero lo malo fue que estaba la figura de 9 lados espero que lo ponga .

12:20 a.m.  
Anonymous Anónimo said...

Me sirvio mucho la formula para saver las diagonales de un poligono porque me lo dieron de tarea.. xD Gracias ahora tendre un 7.0 :S

11:50 a.m.  
Anonymous Anónimo said...

d=n(n-3)
------
2

9:49 p.m.  
Blogger carla said...

como puedo calcular los lados de un poligono donde puedo trazar 324 diagonales cual es la formula

1:12 p.m.  
Blogger carla said...

como calculo el numero de lados de un poligono teniendo la cantidad de diagonales que puedo trazar

1:14 p.m.  
Blogger Carla said...

solo digo que un hexagon tiene 11 diagonales y de cadalado le salen3

12:08 p.m.  
Blogger lmiguel said...

Recordando mis tiempos de cole, la fórmula se deduce a partir de una combinación, la idea es que teniendo el número de vértices (puntos, lados) hallar el posible número de rectas que se pueden trazar entre éstos y restarle el número de lados, es decir:
#diagonales = C( n de 2 ) - n
#diagonales = n!/( 2! * (n-2)! ) - n
#diagonales =(n-1)*n/2 - n = n(n-3)/2

Ammm sé que algunos no entenderán pero entiendan que no es posible hacer dibujos ... espero les sirva

9:11 a.m.  
Anonymous Anónimo said...

me parece sper bien su blog!! me ayudo para hacer mi tarea..muchas graxias..inclusive asi mismo como presentaron la pregunta se presenta mi tarea.. jeje..=) ya la resolví grxias a ustds!!

9:09 a.m.  
Blogger lmiguel said...

mmm qué raro hace un tiempo puse una solución a este problema, creo que la borraron, en fin, bueno para los que quieren saber se usaban combinaciones ... mmm la verdad ya no recuerdo como era jajaja por eso lo publiqué para que me sirva de recuerdo a mi tb XD

8:17 a.m.  
Anonymous Sergio said...

Carla, en tu caso que te preguntan los lados de un n-agono dado el numero de diagonales lo que debes hacer es despejar la n de la fórmula deducida. Me explico:

- Tenemos que d = n·(n-3)/2

- Despejando la n te queda una ecuación de segundo grado. 2d = n^2-3n

- Reordenamos: n^2-3n-2d=0

- Ahora sustituyes d por tu dato, (d=324) y resuleves la ecuación de segundo grado obteniendo como soluciones n=27 y n=-24.

- Obviamente descartas la solución negativa y ya tienes que el polígono que cuenta con 324 diagonales es aquel que tiene 27 lados.

- Puebes comprobarlo aplicando ahora la formula: d = n·(n-3)/2; d = (27·24)/2; d = 324

Espero haberte ayudado. Un saludo :)

5:46 a.m.  
Anonymous Anónimo said...

wow gracias esto ah sido muy util yo estudio la preparatoria pero pro falta de repazo habia olvidado algo tan simple, ahora lo recorde otra vez ^^

7:43 p.m.  
Anonymous Anónimo said...

ayudenme con este ejercicio p .¿cuantas aristas tiene un poliedro que se encuentra limitado por 6 cuadrilateros convexos y 8 pentagonos convexos?,.ya p deanme una manito es que tengo q presentarlo y el prof. lo dejo como tarea y no xpliko como empiezo y q formulas uso?

3:12 p.m.  

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